基于FEM的单臂塔式起重机模态及谐响应分析

张勤鹏 马思群 王滋昊 于淼航 薛 磊
大连交通大学机车车辆工程学院 大连 116028

摘 要：塔式起重机是建筑施工领域中的重要起重设备，其工作稳定性与施工安全密切相连。为了验证塔式起重机结构的稳定性，通过FEM（有限元法）对某型塔式起重机模型的3 种典型工况进行静动态特性分析，主要分析其静强度、模态、谐响应等方面。经过分析，该机静强度满足设计要求，振幅位移最大处主要位于起重臂和平衡臂的端部。通过模态分析可知该机固有频率较低，各阶频率相差不大，且在某些频率下与塔机易发生共振。因此，应加强起重臂和平衡臂端部的强度和刚度，并在塔式起重机工作过程中应避免共振频率，以免发生共振导致安全事故。

关键词：塔式起重机；静强度；模态；谐响应；分析

中图分类号：TH213.3 文献标识码：A 文章编号：1001-0785（2020）07-0046-06

0 引言
随着高层建筑施工在我国基建项目中的占比愈来愈大，塔式起重机（以下简称塔机）的使用频率和范围也随之大幅提升[1]。然而，塔机起升高度不断增加、臂架结构不断加长、结构运行时间不断延长、承受载荷越来越复杂，会使其结构产生较强烈的振动，甚至会发生起重臂折断事故，危及施工人员的安全。因此，对塔机结构进行静态和动态分析可为塔机的运行安全提供有力保障。本文以某型塔机为例，基于HyperMesh 和Ansys 有限元分析软件对其静动态特性进行分析，验证其结构强度是否满足设计要求，并找出塔机工作过程中的共振频率，最大限度保证塔机工作安全。

1 塔机有限元模型的建立
1.1 有限元理论
有限元法（FEM）是一种现代计算机辅助工程的数值计算方法，其发展与电子计算机技术的发展密切相连，在实际的计算力学和工程计算中发挥着重要作用[2]。有限元法的关键是选取合适的插值函数，根据选择好的插值函数，即可用节点位移表示单元内任一点位移，表达式为

式中：｛ f ｝为单元内任意一点的位移列阵，｛N｝为形函数矩，｛δ｝e 为单元的节点位移列阵。建立结构的平衡方程为

式中：[ K ] 为整体结构的总体刚度矩阵；｛δ｝为总的节点位移列阵，[ F ] 为整体结构的等效节点载荷列矩阵。

1.2 塔机结构及基本参数
某型塔机主要由塔身、起重臂、平衡臂、回转台、驾驶室等组成[3]。塔机工作高度为35 m，额定起重力矩为40 t?m 最大起重量为4 t，最大幅度额定起重量为0.8 t，工作幅度为2.5 47 m，回转速度为0.6 r/min。图1 为塔机的结构示意图。

1. 配重 2. 平衡臂 3. 平衡臂拉索 4. 塔顶 5. 起重臂拉索6. 起重臂 7. 吊钩 8. 司机室 9. 回转机构 10. 爬升架11. 塔身 12. 扶梯 13. 小底架 14. 地基
图1 塔机结构示意图

1.3 模型简化及单元类型选择
塔身和塔臂是塔机最为关键的两个部分，所以对塔机进行有限元分析时主要分析这两部分。由于塔机的整体结构较复杂，所以建立有限元模型时需要根据计算要求对其进行适当简化，从而在保证计算精度的同时提高计算速度。

塔身、起重臂、平衡臂、塔帽部分采用梁单元Beam 188 来模拟，操作台、回转台以及塔帽的部分采用壳单元Shell 181 来模拟，起重臂拉杆、平衡臂拉杆部分采用杆单元Link 8 来模拟。将塔机标准节之间的螺栓连接简化为节点之间的连接，并约束其自由度以保证连接的准确性。将对塔机模型计算精度影响较小的部件予以简化（如司机室等），但需要在其相应部位附加集中质量单元Mass 21。对塔机回转部件在其上、下回转支座采用壳单元Shell 181 模拟，在两者之间通过CP 连接，并对相应刚性单元的自由度进行耦合。对塔机模型中的倒圆角、小圆孔、螺栓等部位进行相应的简化处理，以此在确保塔机结构模型合理准确的基础上减小模型规模。

对网格质量进行检查合格后，HyperMesh 中塔机有限元模型单元数量为32 624 个，节点总数为33 118 个，得到图2 所示塔机有限元模型。

图2 塔机有限元模型

1.4 塔机载荷及约束的施加
塔机运行工况和所受载荷较复杂，主要包括自重载荷、起升载荷、风载荷和温度载荷等[4]。其中，自重载荷即对塔机结构附上相应的材料密度属性，并沿Z 轴方向对塔机施加重力加速度g，动载荷系数设为1.19，风载荷系数设为1.3。由于塔机工作环境温度变化并不明显，所以本文将温度载荷对塔机的影响忽略不计。对塔机底部进行全约束，即6 个方向的自由度全部约束[5]。对起重臂、平衡臂拉杆与塔帽铰接处和臂架根部限制X、Y、Z 三个方向的平动自由度及 X、Z 两个方向的旋转自由度。

1.5 建立塔机工况
根据塔机的运行特点，选取起升点位于起重臂端部、中间位置和起重臂根部三个典型工况进行讨论。塔机各工况加载位置如图3 所示。

工况1：起升点位于起重臂最远处，起重载荷为0.8 t。
工况2：起升点位于外侧拉杆与内侧拉杆中间处，起重载荷为2 t。
工况3：起升点位于起重臂根部处，起重载荷为4 t。

图3 塔机各工况载荷加载位置图

2 塔机静强度分析
由于塔机大多工作于露天环境中，工作环境和所受载荷较复杂，且塔机需要连续作业，对塔机整体结构的强度和刚度要求较高，所以利用有限元法对塔机结构进行静强度分析十分有必要。利用有限元软件HyperMesh对塔机模型进行有限元模型对建立，再通过Ansys 软件计算得到塔机模型的应力和位移云图，最终确定塔机结构应力和位移最大位置，依据GB/T 13752 － 2017《塔式起重机设计规范》（以下简称《规范》）对塔机进行强度和刚度校核，为塔机设计和使用提供一定的参考。

2.1 塔机强度评价标准
本文塔机的材料采用Q235B 和Q345B 钢材，其具体参数如表1 所示。为保证塔机结构强度的前提下最大限度降低塔机成本，对塔机受复杂多变载荷的起重臂、起重臂和平衡臂内外侧拉杆采用强度标准较高的Q345B 钢，其余塔身、塔帽等受载荷变化较小的部位采用Q235B 钢。参照《规范》中的要求，所设计的结构件最危险截面上的计算应力不得超过许用应力，即

式中：σ 为应力集中的危险截面的最大应力，[σ] 为许用应力，σs 为材料的屈服极限，n 为安全系数。根据相关设计要求选取安全系数n 为1.34，则材料的基本许用应力为

式中：[σ]s1 为塔机起重臂和起重臂、平衡臂内外侧拉杆结构许用应力，[σ]s2 为塔机其他结构件许用应力。

2.2 塔机刚度评价标准
由《规范》可知，当塔身处于独立状态的塔机，在额定起升载荷作用下，起重臂根部连接处的水平静位移为[6]

式中：△ L 为额定起升载荷下起重臂根部的水平静位移，H 为起重臂根部到支撑塔身平面的垂直距离。经测量，该塔机起重臂根部到支撑塔身平面的垂直距离为H ＝ 25.4 m，代入式(5) 得

由式(6) 可知，该塔机所允许的水平静位移不超过340.4 mm。

2.3 塔机静强度分析结果
对上述三种工况下的塔机模型导入Ansys 软件中进行计算，得到三种工况下的塔机结构应力和位移云图，在此仅列出工况1 时的应力和位移云图如图4 所示。通过Ansys 软件的计算可知，塔机应力最大点主要集中在起重臂的上弦杆与内、外侧拉杆的连接处，位移最大点均集中在起重臂的端部。根据塔机标准中定义的应力标准和位移标准得到的塔机强度和刚度评定结果如表2、表3 所示。

图4 工况1 时塔机结构应力和位移云图

塔身与起重臂连接处水平静位移。分析结果表明：三种工况下的△L 远远小于许用值，该型号塔机的初步设计较安全，满足强度和刚度标准，且材料还留有一定余量，但还应加强塔机薄弱部位的材料强度，以提高塔机结构的整体强度和刚度。结构的最大位移值出现在塔机起重臂的端部，且随吊重向起重臂根部推移，起重臂端部的位移也随之不断减小，这与塔机的实际受力变形情况相吻合。此次静强度计算不仅验证了塔机的强度和刚度符合设计规范，还为后续塔机动态特性分析打下了基础。

3 塔机动态特性分析
3.1 模态分析
由于塔机的工作环境和所受载荷较为复杂，在其工作运行过程中会受到冲击振动的作用。当塔机所受动态应力超过材料的疲劳许用应力时便会导致疲劳破坏，可能会降低塔机的稳定性和安全性，进而危及塔机操作人员和施工人员的安全。因此，通过对塔机进行模态分析得到其模态振型和固有频率，可为进一步确定塔机振动特性、指导塔机的故障诊断提供依据，同时还能避免塔机结构在激励载荷作用下产生共振效应，提高塔机运行的可靠性和安全性。
1）模态分析基本理论
模态分析用于确定设计中的结构的振动特性，也是进行谐响应分析等其他动力学分析的基础[7]。模态分析的基本运动方程表达式为

式中：[M] 为质量矩阵，[C] 为阻尼矩阵，[K] 为刚度矩阵，｛x｝、｛x· ｝ 、｛x·· ｝ 分别为位移、速度、加速度列阵。由于阻尼对结构响应的影响很小，故可将其忽略不计，即可得到简化后的自由振动方程表达式为

求解式(9) 即可得到结构的固有频率和振型。
2）模态分析结果
Ansys 有限元分析软件中提供了多种模态分析的算法，但其中的分块 Lanczos 算法（也称子空间法）可计算的模态范围最广，且其计算速度和求解精度均较高，故本文采用分块 Lanczos 法对塔机模型进行模态计算[8]。

为了计算塔机的固有模态，在此忽略了塔机约束和外部载荷，提取塔机前6 阶模态，在此仅列出第1 阶模态振型如图5 所示，各阶频率及振型描述见表4。

由塔机模态分析结果可知，塔机固有频率较低，且各阶频率之间相差不大。塔机主要振型为平衡臂和起重臂的弯曲、扭转振动，说明在设计时应该加强塔机平衡臂和起重臂的弯曲和扭转刚度，保证塔机工作的安全性。而且振幅位移最大处主要位于起重臂和平衡臂的端部，说明这两个位置较塔机其他部位薄弱，应该重点注意这两个位置。

图5 塔机1 阶模态振型图

3.2 谐响应分析
通过前面对塔机进行的静强度和模态计算，可得到塔机在各工况下的应力、位移云图、运动振型和低阶固有频率。为了更明显地反映塔机结构低阶固有频率与动载荷响应的关系，对塔机进行谐响应分析显得尤为重要。低阶模态振型对塔机的影响较大，由于自身阻尼的作用，对高阶响应来说能量衰减变化很快，故取较小频率段来分析塔机的谐响应。通过此分析可更精准地分析低阶固有频率对塔机整体结构的动载荷响应，并判断塔机结构是否会出现共振或其他受迫振动等危险。

本文采用完全法求解塔机结构的谐响应[9]。根据模态分析结果可得到塔机结构的前6 阶固有频率范围是1.04 3.30 Hz，故设置塔机的响应频率为1 4 Hz，并设置求解步数为400，求解起重臂3 种工况下对应节点X、Y、Z 三个不同方向上的节点位移响应。限于篇幅，由Ansys 计算得到的第1 工况的塔机位移和应力均较大，故仅讨论第1 工况起重臂的位移响应曲线如图6 所示。

图6 塔机起重臂位移谐响应曲线

由图6 可知，FREQ 为频率，VALU 为位移，位移谐响应的峰值出现在1.04 Hz、2.18 Hz 和2.54 Hz 处，此时峰值较大，也表明振动较剧烈。而1.04 Hz、2.18Hz、2.54 Hz 这三个频率恰好与塔机的第1 阶、第3 阶和第4 阶固有频率相重合。由上述模态分析结果可得到塔机第1 阶、第3 阶和第4 阶的模态振型为平衡臂和起重臂的弯曲和扭转组合振动，此时塔机所受载荷与其固有频率相吻合，意即容易发生共振，从而造成塔机工作稳定性大幅下降，这是对塔机结构进行动态设计的主要内容。

4 结论
1）通过Ansys 软件对塔机整体结构进行静强度计算，得到塔机塔机应力最大点主要集中于起重臂的上弦杆与内、外侧拉杆的连接处，位移最大点均集中于起重臂的端部。由计算结果可验证塔机的强度和刚度均满足《塔式起重机设计规范》中的标准，且材料留有一定的余量。

2）对塔机整体结构进行模态分析，得到塔机的固有频率和模态振型，可知塔机固有频率整体偏低，且各阶频率之间相差不大。并通过Ansys 软件中的完全法求解塔机结构的谐响应，得到塔机起重臂位移谐响应曲线。在1.04 Hz、2.18 Hz 和2.54 Hz 处与塔机第1 阶、第3阶和第4 阶固有频率相同，易产生共振，故塔机在实际工作过程中应避开这三个频率，以免产生共振，导致危险的发生。另外，还应提高塔机起重臂的动刚性，从塔机自身结构出发解决共振问题。

参考文献
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来源：起重运输机械