基于模型预测控制的桥式起重机防摆控制*

刘小光1 吴岳明1 朱慧华1 王立夫2 吴朝霞2

1 宝钢股份上海梅山钢铁股份有限公司 南京 210039 2 东北大学秦皇岛分校控制工程学院 秦皇岛 066004

摘 要：针对桥式起重机水平定位和防摆控制，设计了基于线性模型预测的控制方法，运用拉格朗日方程建立系统模型并线性化。由于水平位移与速度的耦合性，设计了三次多项式形式的水平位移期望函数，以及二次多项式形式移动速度期望函数，以达到精确、平滑、小负载摆角运行的控制目标，并可用以实时控制。搭建Matlab/Simulink 模型进行了仿真验证，表明此控制方式可使起重机在运动过程中速度平滑、定位精确、负载摆角小，无超调响应定位指令，并对负载质量变化、钢索长度变化具有良好的鲁棒性。与已有的模糊PID 控制、LQR、线性自抗扰控制相比，负载摆角抑制效果分别提升87.4%、68.4% 和55%。

关键词：桥式起重机；欠驱动系统；防摆控制；模型预测控制；平滑优化

中图分类号：TH215 文献标识码：A 文章编号：1001-0785（2020）13-0073-06

0 引言

桥式起重机是实现起重运输过程机械化、自动化的重要设备，抑制或消除其负载的摆动对提高起重机的工作效率、排除安全隐患具有重要意义。桥式起重机是典型的欠驱动系统[1]，对防摆控制算法提出了高要求。起重机防摆控制方法主要有模糊控制、滑膜控制、自适应控制、神经网络控制、最优控制等。文献[2、3] 设计了双模糊控制器，系统具有较强的鲁棒性，并提升了控制器处理速度，但模糊控制器的规则设计依赖于人的经验，并需要大量的调参工作。文献[4、5] 利用滑膜变结构控制对参数摄动和系统扰动的低敏感性，提升了桥式起重机防摆控制的鲁棒性。文献[6] 采用自适应耦合闭环控制，在线估计系统参数提升控制效果，但参数估计所需计算量较大，难以用于实时控制。文献[7] 利用神经网络可以逼近任意连续系统的特性，采用逆模型控制方法，文献[8] 利用神经网络的学习特性进行参数在线优化，然而神经网络控制方法多见于理论分析，鲜用于实际控制工程中。最优控制中的LQR[9] 只保证局部的有效性，且鲁棒性不强，不能处理约束问题。而模型预测控制[10] 通过局部最优以逼近全局最优，滚动反馈控制使其具备较强的鲁棒性。因此，本文使用线性模型预测控制，在满足桥式起重机精确定位的同时，降低负载摆角，提升动态控制性能，满足实时控制的要求。

1 系统建模

在对桥式起重机运动系统建模时，忽略了吊索质量与其延展长度变化，忽略了空气阻力，假设吊具及负载为质点，起重机与导轨间的摩擦力与起重机速度呈线性关系，如图1 所示。桥式起重机水平运动过程中，提升电机不工作，在满足起重机准确定位的同时应减小负载摆角，并使其迅速衰减为0。因此，水平运动是起重机防摆研究的重点。根据起重机系统的动力学特性，由式

（1）拉格朗日方程得到起重机系统的非线性数学模型，如式（2）所示。

式中：M 为起重机质量，m 为负载质量，v 为起重机的水平移动速度，x 为起重机水平位移，θ 为负载摆角，ω 为负载摆动角速度，F 为起重机水平方向的控制力，L 为吊索长度，μ 为起重机水平运动的阻尼系数。根据小角度近似理论，得到桥式起重机水平运动的线性状态空间方程，即

图1 桥式起重机运动系统简图

2 模型预测控制

模型预测控制最早应用于工业过程控制领域，近些年来，在智能车辆运动控制领域得到了广泛应用。模型预测控制可以处理各种约束问题，如控制量约束、状态量约束以及输出量约束等，通过滚动优化、反馈校正，使其具有良好的鲁棒性。

对式（3）利用欧拉公式，将连续状态空间方程离散化

其中，Ad=I +TA, B d=TB, Cd=C, I 为单位矩阵，T 为采样时间。

根据模型预测控制理论，可得预测模型为

由于Np 为预测时域，Nc 为控制时域，Y =[y k+1|k,y k+2|k, …, y k+Np|k]T, U=[u k, u k+1, …, u k+Nc]T, 则Ψ 与Θ 的表达式为

设计期望的理想状态是起重机在精确定位的同时，横摆角保持为0，且在起重机到达指定位置时速度为0。然而，若设计期望速度为0，会增大起重机到达指定位置的响应时间；若设计期望速度为恒定值，会增大系统超调和静态偏差的可能性。此外，如式（6）所示，起重机水平的位移和速度具有很强的耦合性，故需合理设计起重机运动过程中的期望位移和速度。

为使起重机平滑的运动，减小冲击度，应保证加速度连续变化，即速度二阶、位移三阶可导。因此，设计期望速度是随时间变化的二次多项式，位移是随时间变化的三次多项式。起重机在水平运动加速过程中，加速度应平滑的逐渐增大，再逐渐减小至0，减速过程中减速度同样如此，以此降低冲击度，保证速度和位移的平滑。起重机系统存在最大速度v max 与最大加速度a max，则当起重机系统存在临界位置，使其可加速到匀速状态运行。由此，当起重机期望定位大于临界位置时，起重机加速至v max 后应该匀速行驶。当起重机的期望定位小于临界位置时，起重机不能加速到最大速度，假设此时的期望定位与最大速v′max 之比等于临界位置与最大速度vmax 之比。此时，起重机加速到最大速度v′max 后立即减速。因此期望速度与位移设计以如图2 所示，其中xc 为临界位移, 并可得xc ＝ 2v2max/amax。

图2 期望速度与位移示意图

当起重机的期望定位小于临界值xc 时，起重机先加速至最大加速度，然后加速度减小至0，起重机达到最大速度，再减速度逐渐增大至最大值后减速度逐渐减小至速度与减速度为0，则期望速度为

当起重机的期望定位大于临界值xc 时，起重机先加速至最大速度后匀速再减速，则期望速度为

综上所述，可得桥式起重机模型预测控制的优化函数为

式中：F min、F max 分别为水平控制力的最小值和最大值，Q、R 分别为状态量和控制量的权重矩阵。将求解最优化问题转化为二次规划（QuadraticProgramming，QP）问题，即可求解出最优控制量。

3 仿真验证

为了验证模型预测控制器的控制效果，在Matlab/Simulink 环境中搭建了桥式起重机防摆控制的仿真平台，其主要包括防摆控制模块和桥式起重机物理模型模块。采用文献[11] 中桥式起重机模型参数设置，如表1所示。模型预测控制器参数如表2 所示，其中q1、q2、q3 和r 分别是位移权重、速度权重、负载摆角权重和控制力权重。

起重机的最大速度为1 m/s，最大加速度为0.5 m/s2，可得在期望速度与位移的临界位置为4 m。为了验证期望速度和位移函数的设置效果与跟踪效果，分别设定期望定位为3.0 m、4.0 m、10 m，仿真结果如图3 所示。由此可知，模型预测控制可跟踪期望位移，最终到达指定定位，并在此过程中速度与位移平滑变化，能抑制负载摆角。

由表3 可知，基于模型预测控制的桥式起重机可以到达任意指定定位，且无超调发生。期望定位越大，起重机到达期望定位的时间也越大。同时，由于系统非线性、运行中误差积累等原因，起重机的响应滞后（实际位移响应滞后于理想响应的时间）也越大。由图3 可知，起重机指定定位为3 m、4 m 时，速度增大至最大速度后，开始减速。当指定定位为10 m 时，起重机增大至最大速度后以近似匀速的速度行驶，然后再减速至0。在起重机所有的加减速过程中，速度变化平滑，符合设计预期。由负载摆角曲线变化可知，随着期望定位的增大，负载最大摆角随之增大，最大值为2.3°。此外，负载摆角收敛至0 的时间滞后于位移响应时间，即起重机到达期望定位后负载摆角仍有极微小的摆动，并随期望定位的增大，负载摆角收敛所需时间增大。当起重机在14 s 到达指定10 m 定位时，此时负载摆角为-0.5°，为最大摆角的21.7%，之后迅速收敛至0。此外，负载摆角与起重机加减速过程同周期变化，进入匀速行驶后震荡幅度极小。由此可见，基于模型预测的控制器在精准定位、速度平滑、负载摆角抑制方面具有良好的性能。

图3 不同期望定位仿真结果

当起重机期望定位为3 m 时，与不同控制器各项性能指标对比如表4 所示。与文献[11] 设计的LADRC（线性自抗扰控制）算法相比，系统响应速度虽然减缓，但负载摆角抑制效果更加显著，控制效果提升55%。与文献[12] 设计的模糊控制器和LQR 控制器相比，系统响应时间及负载摆角都大幅度减小，位移响应时间分别提升13.6% 和5.5%，负载摆角抑制效果分别提升87.4%和68.4%。由此可见，基于模型预测的起重机防摆控制效果显著。

考虑到起重机实际工作中的负载质量并非固定，甚至是成倍变化。负载质量的变化会引起MPC 控制器的模型失配，故设计负载质量分别为3 kg、12 kg 来验证控制效果，不同负载质量的控制效果如图4 和表5 所示。由此可知，虽然负载质量发生了变化，但起重机均可无超调完成期望定位。当负载质量为3 kg 时，起重机运行速度增大，位移响应时间减小为8.5 s，负载最大摆角增大为2.4°，且收敛过程中波动加剧，收敛时间增大至40 s，但在17 s 后，负载摆角可收敛到0.5°之内。当负载质量为12 kg 时，起重机运行速度减小，且变化更加平滑，位移响应时间增大为11 s，负载最大摆角减小为1.2°，且波动周期变大，收敛时间增大至13 s。由此可知，负载变化会影响控制器性能，但起重机都可无超调完成期望定位，负载质量减小会较严重的恶化负载摆角，使最大负载摆角及收敛时间增大；而负载质量增大会使负载摆角减小，稍微增大收敛时间。

图4 不同负载质量仿真结果

与负载质量会发生变化一样，起重机的钢索长度在工作中也是变化的，其同样会引起MPC 控制器的模型失配，影响控制器性能，故设计钢索长度分别为2.5 m、10 m 来验证控制效果，不同钢索长度的控制效果如图5和表6 所示。由此可知，钢索长度的变化会对起重机移动速度有稍微的影响，但对起重机的水平位移基本无影响。对于负载摆角的影响，起重机长度的增大会使负载摆角增大，震荡加剧。然而基于模型预测的控制效果却不同于此，钢索长度的变化对负载最大摆角几乎无影响，但的确会增大负载摆角的收敛时间。钢索长度减小对负载摆角的收敛时间影响较小，钢索长度的增大会使负载摆角的收敛时间增大。当钢索长度增大为10 m 时，相较于吊索长度为5 m 时，收敛时间增大了近乎一倍，但负载摆角在8 s 时即可收敛至0.5°之内，可见模型预测控制对由钢索长度造成的模型失配有良好的鲁棒性。

图5 不同吊索长度仿真结果

由上述分析可知，采用模型预测控制的桥式起重机防摆控制，在定位运动过程中，速度变化平滑，定位准确，负载摆角小。相较于其他控制方式，负载摆角抑制效果至少提升了55%，且能克服负载质量变化、吊索长度变化的扰动。

4 总结

为了实现桥式起重机的平滑水平定位与防摆控制，本文设计了基于模型预测控制的线性跟踪控制器，并设计使起重机平滑运动的速度与位移函数。与其他控制方式相比，文中所述方法可优化起重机的水平运动，还可大幅提升负载摆角的抑制效果，并可用以实时控制。通过起重机定位变化、负载质量变化、钢索长度变化验证了基于模型预测的防摆控制具有一定的鲁棒性，尤其应对钢索长度变化效果良好。但负载质量的大幅变化确实对控制性能有一定的影响，故在后续工作中将结合在线参数辨识等方法，减小负载质量变化对模式失配造成的影响，进一步提升控制效果。

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来源：起重运输机械