工程问题的静力学分析

静力学分析一般是解决工程问题的基础，忽视静力学分析，有时会造成不必要的麻烦，甚至于重大的经济损失和人员伤亡。本文将通过三例工程实例中的静力学分析，来说明工程问题的静力学分析过程，并重点探讨从工程问题向力学问题的简化过程。

案例一：吊车翻倒分析

图1(a)-(f)是网络上流传的一组吊车翻倒的事故图片，最先 一辆白色小轿车不慎掉入湖中，先请来一辆小型的吊车打捞，结果在小轿车出水后，吊车被拉入水中；然后又请来一辆大型吊车，顺利的将小轿车吊起，但在起吊小型吊车时又被拉入水中；最后来又请来一辆大型吊车。

图1 吊车因受力不平衡发生倾倒事故

在这起事故中，只要进行简单的受力分析，就可以避免事故的发生。我们取图1(f) 为例进行分析，画出吊车的简图，如图2(b) 所示。吊车在工作中，通常会在车身两侧伸出两个支撑A 和B ，把车辆撑起，使车轮离开地面以保持稳定，将其简化为光滑面约束。

设左支撑A 到车辆重心作用线的距离为a ，右支撑B 到车辆重心作用线的距离为b ，以及吊车起吊重物作用线到重心的距离为c 。本例中，起吊重物W 和车辆重力G 为主动力，支撑处的作用力F1 和F2 是被动的地面约束反力，其大小因主动力状态不同而不同。

图2 吊车的受力分析图

我们希望在整个起吊工程中，吊车都保持平衡状态，不发生任何移动。根据平衡条件，需要保证吊车所受的合力为0 ，合力矩为0 （不翻转）。考虑到本例中，只有竖直方向的力（不需要列水平方向的力平衡），为此，我们列平衡方程有：

显然，当F 2 =0 时，说明W 过重，已到达吊车向左翻转的临界值。此时，上述两式变为

这说明，当c ，a 确定时，最大起吊重量W 不能超过G a /( c – a ) 。同理，若确实需要起吊较大重量，相当于起吊重量W 确定。此时，若c 已知，变换上式可求得a 的允许取值为

若a 已知，变换上式可求得c小于等于 （W+G）a/W

很多时候，人们总是习惯依据经验进行判断 ，力学更多是在事故发生后才会被人们重视，然而，有些事故一旦发生就难以补救。事前力学分析是十分必要的，因为幸运并不总能发生。

案例二：升降台的受力分析

升降台是一种垂直运送人或物的起重机械，除作为不同高度的货物输送外，升降台还广泛应用于高空的安装、维修等作业。将升降台安装在汽车底盘上，可实现自由行走，工作高度空间也有所改变，使其具有重量轻、自行走、自支腿、操作简单、作业面大，进行高空作业等优点。

升降台工作原理（ 视频1）

为了便于说明，将升降台各铰接点进行如图3 所示的标注。考虑到升降台的对称性，可以只取一半为研究对象。如设摇杆总推力为2F ，总起重重量为2G 。只考虑图中EH 和AB 所在平面分析，认为其起重重量为G ，摇杆推力为F 。

图3 升降台

首先画出升降台的力学简图：由题意可知，铰H 固定了x ，y 方向的运动，将其视为固定铰支座，铰A 可以滑动，将其视为滑块或者滑动铰支座。任意瞬时，当升降台保持平衡时，E 、B 两点只受上平台的重力，分别设为G1 和G2 （与E 、B 位置相关）。

根据上述分析，画出该升降台的力学简图如图4 所示，在本例中G1 、G2 分别表示上台面加在斜杆上的力，升降台高度用h 表示，升降台斜杆张开距离用a 来表示，均为已知。我们尝试分析在确定的提升重力下，升降台升高高度h 与主动推力F 之间的关系。

图4 升降台力学简图

并建立图4 所示坐标系，其中O 点为上台面的中心。可见，当升降台升起时，E 点将从O 点的左侧向右侧滑动。记E 点的坐标为( x E , 0) ，则x E 可以取负（E 在O 点左侧），取正（E 在O 点右侧），也可以等于0 （E 恰好在O 点）。如图5(a)所示为上台面的受力分析图（尺寸如图中所示），有x E = -c。再画出升降台的整体和AB杆的受力图，如图5(b)-(c)所示。

图5 升降台受力分析图

以图5(a) 为研究对象，列平衡方程，有

求解上式得，F A =G1 ，F H y =G2 ，F=F H x ，但还无法求得主动力F 与G 之间的关系，需再补充研究对象，如图5(c) 所示，对C 点取矩，有

求解上式得，并代入已知量，有

由图5(a) 可知，a = b – x E ，因此，当升降台升起时，x E 逐渐增大，a 逐渐减小，h 逐渐变大，因此推力在这个过程中是逐渐减小的，原则上a 不能小于或等于上台面的一半。因为当等于上台面一半时（E 和O 点重合），G2 等于0 ，相等于只有一根杆支撑，此时若稍有靠左侧的力，升降台将向左翻倒。若a 小于上台面一半时（E 和O 点右侧），G2 小于0 ，说明F Hy 向下，如果升降台没有在地面固定，将不能提供向下的F Hy ，也意味着升降台必将翻倒。因此一般情况下，a 不小于上台面的一半。

案例三：平衡吊的受力分析

平衡吊是一种小型起重机，常用于工厂中协助人力频繁搬运重物，具有结构简单、操作灵活、直观、适合于单人操作等优点，在生产中广受工人们的欢迎。

平衡吊的工作场景（视频2）

从力学结构上看，平衡吊为一个平行四边形机构，如图6(a) 所示。只画出上部机构的力学简图，如图6(b) 所示。

图6 平行吊的力学简图

参考自：庄表中《理论力学工程应用新实例》PPT, 2007

由于平衡吊要实现可以在任意位置平衡，因此，本例中我们重点探讨一下，平衡吊在设计时的相关尺寸要求。为此画出平衡吊整体、CD 杆、A 点的受力分析图，如图7(a)-(c) 所示。先以图7(a) 为研究对象，对B 点取矩，列平衡方程，有

由上式导出

以图7(b) 为研究对象，对C 点取矩，列平衡方程，有

由上式导出

图7 平行吊的受力分析图

参考自：庄表中《理论力学工程应用新实例》PPT, 2007

以图7(c) 为研究对象，建立A 点的平衡方程，有

由上式导出

将图7(b) 分析得到的F E 结果代入，整理后，得

令上述结果与图7(a) 中得到的F A 相等，消去F A ，得

也就是说当平行四边形机构中满足上式时，平衡吊可满足随处平衡的条件。

结束语

由上述三个工程实例可知，利用静力学处理工程问题，主要包括以下基本步骤：

1） 了解研究对象的工程结构及其工作原理；

2） 将工程问题进行抽象，并画出力学简图；

3） 分析主动力、约束反力，画出工程问题的受力分析图；

4） 依据平衡条件列平衡方程；

5） 求解平衡方程，得到需要的指导原则。

不过，现有的力学教材中，大多例题都直接给出力学简图，缺少从工程问题向力学问题简化的训练。这样，在学生尚未理解相关结构（或机构）的工作原理时，强行进行受力分析，在理解上会造成大的困难。还有一些题目，直接忽略工程背景，使力学题目变成纯粹的受力分析和力学计算，这就相当于剪掉了力学问题的工程牵引力，使力学失去实用价值，从而使学生失去了对力学的学习兴趣。

因此，静力学作为力学学习的入门课程，应该在教学中加强由工程问题向力学简图的抽象能力培训，并可由此增强学生的工程素养，这不仅对于提高学生的学习兴趣，提升学生处理实际工程问题的能力至关重要，同时还为学生打开力学的大门，进入后续的力学课程提供了可能。

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来源：AI故事专家集